抽样「sampling」（1）

上周我谈到一个人到底有几个朋友，按照不同的方法猜估的结果，一个人大概有两、三百个到两、三千个。从这么一个简单的观念开始，它后头倒有许多有趣和相当深奥的重要的数学问题。

首先，假设我们已选定了某一个猜估的方法去决定一个人有多少个朋友，不同的人，有不同数目的朋友，那么平均一个人有几个朋友呢？诸位都知道平均值是蛮简单的，只要把全世界60亿人口里的每一个人有多少个朋友算出来，把结果加起来被60亿除，那就是平均值了。但是，当我们没有办法决定60亿人口里每一个人的朋友数目的时候，我们会自然的说，找100个人，把他们的朋友的数目的平均值找出来，就算是60亿人口的平均值了，这就是统计学上「抽样」（sampling）这个观念，换句话说，我们用这100或者1000个人作为代表，希望按照他们算出来的结果跟真正的结果会相差不远。「抽样」这个观念应用得非常广泛，譬如说在选举的时候，民意调查就是在几百万的选民中，找几千个人作为抽样，以他们的意见代表全体选民的意见。另外一个例子，是为决定一个产品制造良率，我们在一百万个产品里，选出一千个抽样，如果发现其中有两个是不良的，那么我们会说这一百万个产品的不良率是千分之二。抽样是统计学中很重要的技术，其中最重要的两个问题是，选多少个抽样？怎样选这些抽样？

让我很简单的讨论一下第一个问题，那就是「要选多少抽样？」，就像我前面说，如果我们要决定60亿人里一个人平均的朋友的数目，准确的答案是把60亿人，每个人的朋友的数目决定后，来算平均值；如果我们要决定一百万个产品是好的，多少个是坏的，当这样做是太麻烦甚至不可能的时候，如果我们在60亿人口中，抽30亿人，那么算出来的结果，不一定完全准确，但应该相当接近；如果只抽1亿人的话，结果很可能跟准确的答案会有若干的误差了；如果只抽一千个人的话，结果很可能跟准确的答案有比较大的误差。因此，很明显的，抽样的大小跟结果的误差有密切的关系，在统计学上，误差界限（margin of error）这个观念，是说抽样应该有多大，算出来的结果跟准确的结果比较不会超过某一个百分比，这个百分比就叫做误差界限，有些统计学的公式，套进去就会告诉你抽样的大小，最低限度应该是什么。

假设我们已经估计出来，如果抽样的大小是2000个产品，误差界限是3％，那并不表示，每次你抽2000个产品，你得出来的结果的误差一定是在3％之内，也许很多次不同的抽样，得出来的结果误差是在3％之内，偶然有几次的抽样，得出来的结果是在误差界限之外。所以，我们得加上另外一个观念叫做「信赖水平」（level of confidence），那就是说我们在很多次的抽样检验过程中，我们希望每一百次的抽样检验过程，有九十次得出来的结果，它的误差界限是在预定的范围之内的，那么百分之九十就是我们的信赖水平。总之，当我们作抽样测试时，如果我们希望误差界限小，信赖水平高，那么抽样越多，结果就会越准确。

至于第二个问题「应该怎样抽样？」，我就不在这里谈了。统计学是一门有趣、有用的科学，大家可以找些书看看，多了解一点。科学家相信统计学，那么文学家呢？有人相信，也有人不信，大家都听过瞎子摸象的故事，有几个瞎子，从不知道象是怎么样一个动物，有一天，他们一起去摸一只象，摸到鼻子的，说象是一根管子，摸到耳朵的，说象是一把扇子，摸到脚的，说象是一根柱子，摸到尾巴的，说象是一条绳子，摸到身体的，说象是一道墙，摸到象牙的，说象是一根大萝卜，所以，抽样是不可靠的。成语里也有「以管窥天」、「以蠡测海」，都是眼光狭窄，力量有限，无法看到全貌，也是不相信抽样的例子。

Willam Blake有一首很有名的小诗，前面两句是：

To see a world in a grain of sand,

And a heaven in a wild flower.

「从一粒沙里看世界，从一朵野花看见天堂。」那也不正是「抽样」吗？

有一位作家，寄了一本书的初稿给出版社的总编辑，过了一天书稿就被退回了，总编辑说不适合出版，这位作家很生气写了一封信给总编辑：你没有看完我的书稿，凭什么决定这本书不适合出版呢？我把稿子寄给你的时候，刻意把第100页和第101页黏起来，我打开被你退回的书稿，第100页和第101页还是没被打开，可见你根本没有看完我的书稿。总编辑回了一封信说：当我吃一个鸡蛋的时候，如果第一口咬下去就发现这是一个发霉的臭蛋，难道我还要咬下去吗？这也是抽样。成语里也有：「以管窥豹，可见一斑」这句话，就是说通过一个管子来看一只豹，起码可以看到他身上的一个斑纹，今天「可见一斑」这句成语，是说抽样这个观念和技术的，还是有用的。

我曾经在这个节目上讲过一个故事：有一位工程师、一位物理学家、一位数学家一起在苏格兰坐火车，当他们看到火车窗外，站着一只黑色的羊的时候，工程师说：「全苏格兰的羊都是黑色的。」物理学家说：「你不能下这个结论，你只能说『在苏格兰有一只羊是黑色的』。」数学家说：「你不能下这个结论，你只能说『在苏格兰有一只羊，他的左半边是黑色的』。」这也是抽样的问题。

未完待续

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